Разделите 2x³ + x² − 4x − 2 на 2x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем деление в столбик. Оба многочлена расположены по убывающим степеням, пропущенных слагаемых нет, поэтому нули-заполнители не нужны. Делим старший член на старший:

   $\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2}.$

   Заметьте, что схема Горнера здесь неудобна, поскольку делитель не приведённый; обычное деление в столбик справляется со старшим коэффициентом $2$ без всякого масштабирования.

2. 2

   Умножим обратно и вычтем. Умножая делитель на первый член частного:

   $x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},$

   и после вычитания от первых двух слагаемых ничего не остаётся:

   $\left(2x^{3}+x^{2}\right)-\left(2x^{3}+x^{2}\right)=0.$

   Снеся остальное, получаем новое делимое $-4x-2$.

3. 3

   Повторим для остатка. Снова делим старшие члены:

   $\frac{-4x}{2x}=-2,\qquad -2(2x+1)=-4x-2,$

   и вычитание даёт $0$. Деление завершается с нулевым остатком, значит $2x+1$ действительно является множителем.

4. 4

   Подтвердим группировкой. Тот же результат получается вообще без деления:

   $2x^{3}+x^{2}-4x-2=x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right).$

   Заметить, что и первые два, и последние два слагаемых содержат $2x+1$, быстрее, чем делить в столбик, всякий раз, когда у кубического многочлена такая парная структура.

5. 5

   Сформулируем ответ и проверим. Частное равно

   $\frac{2x^{3}+x^{2}-4x-2}{2x+1}=x^{2}-2,\qquad x\neq-\tfrac12.$

   Бонусом полное разложение имеет вид $(2x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$, так что корни равны $-\tfrac12$ и $\pm\sqrt2$. Численная проверка при $x=2.3$: частное даёт $3.29$, и исходное отношение даёт $3.29$ ✓.