Решить систему: X · 5,20 + Y · 5,75 = 8947,2 и X + Y = 1595.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем систему в матричном виде.

   $\begin{pmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8947.2\\ 1595\end{pmatrix}$

   Метод Крамера выражает каждое неизвестное как отношение определителей, и для системы $2\times 2$ это удобно: каждый определитель считается одним перекрёстным умножением.

2. 2

   Вычислим главный определитель.

   $D=\begin{vmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{vmatrix}=5.20(1)-5.75(1)=-0.55$

   Он отличен от нуля, поэтому система имеет ровно одно решение. Заметим, что $|D|$ — это опять же разность цен.

3. 3

   Вычислим два вспомогательных определителя. Заменим сначала столбец при $X$, а затем столбец при $Y$ на правую часть:

   $D_X=\begin{vmatrix}8947.2 & 5.75\\ 1595 & 1\end{vmatrix}=8947.2-5.75(1595)=8947.2-9171.25=-224.05$

   $D_Y=\begin{vmatrix}5.20 & 8947.2\\ 1 & 1595\end{vmatrix}=5.20(1595)-8947.2=8294-8947.2=-653.2$

4. 4

   Разделим и получим неизвестные.

   $X=\frac{D_X}{D}=\frac{-224.05}{-0.55}=\frac{4481}{11}\approx 407.36,\qquad Y=\frac{D_Y}{D}=\frac{-653.2}{-0.55}=\frac{13064}{11}\approx 1187.64$

   Обе величины — периодические десятичные дроби, поэтому точными ответами являются именно обыкновенные дроби.

5. 5

   Проверим в исходных уравнениях. Сумма: $\tfrac{4481+13064}{11}=\tfrac{17545}{11}=1595\;\checkmark$. Стоимость, приведённая к целым числам множителем $\times 100$: $\tfrac{520\cdot 4481+575\cdot 13064}{11}=\tfrac{2330120+7511800}{11}=\tfrac{9841920}{11}=894720$, а это и есть $8947.2\times 100\;\checkmark$.