Решите неравенство (x³ + 1)(x² − 2) < x(x³ + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть — делить на $x^{3}+1$ нельзя. Деление на выражение неизвестного знака может привести к неверному изменению знака неравенства на части числовой прямой. Поэтому вычтем правую часть:

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-2\right)-x\left(x^{3}+1\right)<0$

   и вынесем общий множитель $x^{3}+1$ за скобки:

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-x-2\right)<0$

2. 2

   Разложим обе скобки на множители полностью. $x^{3}+1$ — это сумма кубов, а $x^{2}-x-2$ — обычный трёхчлен:

   $x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

   Получаем неравенство

   $(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)<0$

   Множитель $(x+1)$ встречается дважды, что важно для анализа.

3. 3

   Исключим множители, не меняющие знак. $(x+1)^{2}\ge 0$ при любом $x$, и обращается в ноль только при $x=-1$. $x^{2}-x+1$ имеет дискриминант $(-1)^{2}-4=-3<0$ и положительный старший коэффициент, значит, этот множитель всегда положителен для всех действительных $x$. Ни один из них не может сделать произведение отрицательным.

4. 4

   Сводим к одному условию на знак. Оставив два неотрицательных множителя в стороне, получаем, что произведение отрицательно только тогда, когда $x-2<0$ и ни один из неотрицательных множителей не равен нулю:

   $x<2\quad\text{и}\quad x\ne -1$

   При $x=-1$ всё выражение обращается в $0$, а $0<0$ — неверно, значит, $-1$ исключается.

5. 5

   Записываем множество решений.

   $(-\infty,-1)\cup(-1,2)$

   $x=2$ также не входит в ответ, так как неравенство строгое.

6. 6

   Проверим интервалы подстановкой. Пусть $g(x)$ — разность левой и правой частей. Тогда $g(-3)=-260<0$ и $g(0)=-2<0$ (оба значения внутри решения), $g(-1)=0$ и $g(2)=0$ (исключены), а $g(3)=112>0$ (вне решения). Это также показывает, что график касается нуля при $x=-1$, но не пересекает его — признак корня чётной кратности.