Ученик делит x³ − 2x² − 10x + 21 на x² + x − 7 с помощью таблицы деления. Первый элемент частного равен x, второй обозначен буквой A. Чему равно A?

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся, что вообще стоит в ячейке таблицы деления. Таблица деления — это то же деление многочленов столбиком (уголком), только перестроенное в сетку: каждый элемент частного подбирается так, чтобы при умножении на старший член делителя он воспроизводил текущий старший член остатка делимого. Поэтому $A$ — ничего загадочного: это второй член частного.

2. 2

   Восстановим первый элемент, чтобы убедиться в правильности схемы. Разделим старший член делимого на старший член делителя:

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   Это совпадает с данным первым элементом, значит таблица заполняется слева направо обычным образом.

3. 3

   Умножим обратно и вычтем. Умножим весь делитель на этот первый элемент и вычтем произведение из делимого — именно этот шаг убирает член $x^3$:

   $x(x^2 + x - 7) = x^3 + x^2 - 7x$

   $(x^3 - 2x^2 - 10x + 21) - (x^3 + x^2 - 7x) = -3x^2 - 3x + 21$

4. 4

   Повторим деление старших членов и получим $A$. Новое делимое начинается с $-3x^2$, а делитель по-прежнему со $x^2$:

   $A = \frac{-3x^2}{x^2} = -3$

   Это именно константа, а не $-3x$, потому что степени сокращаются полностью.

5. 5

   Достроим таблицу и проверим остаток. Умножение обратно даёт $-3(x^2 + x - 7) = -3x^2 - 3x + 21$, и после вычитания получается $0$. Значит, деление выполняется нацело:

   $x^3 - 2x^2 - 10x + 21 = (x^2 + x - 7)(x - 3)$

   Раскрытие правой части воспроизводит делимое член в член, что подтверждает и частное $x - 3$, и значение $A = -3$.