Решите уравнение: квадратный корень из (x² – 6x + 25) равен 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, допустимо ли возведение в квадрат. Правая часть — постоянная $5>0$, поэтому дополнительных ограничений на $x$ не возникает; кроме того, $x^2-6x+25 = (x-3)^2+16 \ge 16 > 0$, то есть подкоренное выражение определено при любом $x$. Возведение в квадрат здесь не приводит к потере или появлению лишних корней.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат. $x^2-6x+25 = 25.$

3. 3

   Сократим и вынесем общий множитель. $25$ сокращается с обеих сторон: $x^2-6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-6) = 0.$ Вынесение $x$ за скобки — более быстрый и надёжный способ, чем использование формулы корней квадратного уравнения.

4. 4

   Запишем оба корня. $x = 0 \quad\text{или}\quad x = 6.$

5. 5

   Проверим каждый корень в исходном уравнении. При $x=0$: $\sqrt{0-0+25} = \sqrt{25} = 5$. При $x=6$: $\sqrt{36-36+25} = \sqrt{25} = 5$. Оба значения подходят — посторонних корней нет.

6. 6

   Заметим симметрию. Приведение к полному квадрату даёт $\sqrt{(x-3)^2+16} = 5$, то есть $(x-3)^2 = 9$, откуда $x-3=\pm3$. Оба корня симметричны относительно вершины $x=3$, поэтому решения — это $0$ и $6$.