Система x > m + 2 и −2x − 1 ≥ 4m + 1 не имеет решений, а уравнение x + m − 2 = 2 − x имеет целое неотрицательное решение. Найдите сумму всех целых m, удовлетворяющих обоим условиям.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем второе неравенство, выразив x. Из $-2x-1\ge 4m+1$ получаем $-2x\ge 4m+2$. Деление на отрицательное число $-2$ меняет знак на противоположный: $x\le -2m-1$.

2. 2

   Переведём условие «нет решений» в условие на m. Система требует одновременно $x>m+2$ и $x\le -2m-1$. Такого $x$ не существует ровно тогда, когда верхняя граница не лежит строго выше нижней, то есть $-2m-1\le m+2$. Отсюда $-3\le 3m$, а значит $m\ge -1$.

3. 3

   Решим линейное уравнение. Из $x+m-2=2-x$ следует $2x=4-m$, поэтому $x=\frac{4-m}{2}$.

4. 4

   Потребуем, чтобы этот корень был целым и неотрицательным. Неотрицательность даёт $\frac{4-m}{2}\ge 0$, то есть $m\le 4$. Целочисленность требует, чтобы $4-m$ было чётным, а значит $m$ должно быть чётным.

5. 5

   Пересечём три условия. Объединяя $m\ge -1$, $m\le 4$ и чётность $m$ среди целых чисел, получаем $m\in\{0,2,4\}$.

6. 6

   Проверим каждое оставшееся значение. $m=0$: система требует $x>2$ и $x\le -1$ (решений нет), корень $x=2$. $m=2$: $x>4$ и $x\le -5$ (решений нет), корень $x=1$. $m=4$: $x>6$ и $x\le -9$ (решений нет), корень $x=0$. Все три значения подходят, и $0+2+4=6$.