Решить неравенство 2x − 5/4 < 3 − x/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавляемся от дробей с помощью наименьшего общего кратного. Знаменатели равны $4$ и $3$, значит их НОК равен $12$. Умножение неравенства на положительное число сохраняет знак, поэтому такой шаг безопасен:

   $12\left(2x-\frac54\right)<12\left(3-\frac{x}{3}\right)$

2. 2

   Раскрываем скобки в обеих частях. Умножить нужно каждое слагаемое, включая те, что без дробей:

   $24x-15<36-4x$

   Проверяем по одному: $12\cdot2x=24x$, $12\cdot\tfrac54=15$, $12\cdot3=36$, $12\cdot\tfrac{x}{3}=4x$ ✓.

3. 3

   Собираем слагаемые с x слева. Прибавим $4x$ к обеим частям: прибавление, а не вычитание, оставляет коэффициент положительным и избавляет от смены знака в конце:

   $28x-15<36$

4. 4

   Собираем числа справа. Прибавляем $15$:

   $28x<51$

5. 5

   Делим на 28. Так как $28>0$, знак неравенства не меняется:

   $x<\frac{51}{28}$

   Дробь не сокращается: $51=3\times17$ и $28=2^2\times7$ общих множителей не имеют. В десятичном виде $\tfrac{51}{28}\approx1.8214$.

6. 6

   Проверяем границу и по одной точке с каждой стороны. При $x=\tfrac{51}{28}$ обе части в точности равны ✓. При $x=0$ (внутри): $-\tfrac54=-1.25<3$ ✓. При $x=2$ (снаружи): $4-1.25=2.75$ против $3-\tfrac23=2.333$, и $2.75<2.333$ неверно ✓. Перебор $1000$ точных рациональных точек подтверждает, что множество решений — это в точности $\left(-\infty,\tfrac{51}{28}\right)$ ✓.