Решите квадратное уравнение x² + 17x − 120 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала попробуем разложить на целые множители — и увидим, что не выходит. Для разложения нужны два целых числа с произведением $-120$ и суммой $+17$. Переберём пары делителей числа $120$: $(24,-5)$ даёт в сумме $19$, $(30,-4)$ — $26$, $(20,-6)$ — $14$, $(40,-3)$ — $37$, $(15,-8)$ — $7$. Ни одна пара не попадает в $17$, значит, целочисленного разложения не существует. Часто повторяемый неверный ответ здесь — $(x+24)(x-5)$, но он раскрывается в $x^2+19x-120$, а не в $x^2+17x-120$.

2. 2

   Подтвердим неудачу дискриминантом. Для $ax^2+bx+c$ при $a=1$, $b=17$, $c=-120$

   $\Delta=b^2-4ac=17^2-4(1)(-120)=289+480=769$

   Поскольку $27^2=729$, а $28^2=784$, число $769$ лежит строго между двумя соседними квадратами, то есть полным квадратом не является. Это и есть алгебраическая причина, по которой перебор выше не мог увенчаться успехом: рациональные корни требуют, чтобы дискриминант был полным квадратом.

3. 3

   Применим формулу корней квадратного уравнения. При $\Delta=769>0$ корней два, и оба иррациональны:

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-17\pm\sqrt{769}}{2}$

   Это точный ответ; у числа $769$ нет квадратных множителей, поэтому $\sqrt{769}$ дальше не упрощается.

4. 4

   Перейдём к десятичным приближениям. $\sqrt{769}\approx 27.7308$, поэтому

   $x_1=\frac{-17+27.7308}{2}\approx 5.3654,\qquad x_2=\frac{-17-27.7308}{2}\approx -22.3654$

   Обратите внимание, как далеко $x_2$ от соблазнительного $-24$: подменять одно другим нельзя.

5. 5

   Проверим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a=-17$, а произведение — $c/a=-120$. Действительно, $5.3654+(-22.3654)=-17$, а точно

   $x_1x_2=\frac{(-17)^2-769}{4}=\frac{289-769}{4}=\frac{-480}{4}=-120$

   Оба условия выполнены, значит, корни найдены верно.