Решить кубическое уравнение 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим наличие рациональных корней. Возможные кандидаты имеют вид $\pm\tfrac{d}{e}$, где $d \mid 300$, $e \mid 2$. Проверим наиболее вероятные отрицательные значения: $f(-3) = 3$, $f(-4) = -20$, $f(-5) = -25$, $f(-6) = -24$, $f(-10) = -200$, $f(-15) = -1725$. Ни одно из них не обращает многочлен в ноль, поэтому разложение на множители и схема Горнера не помогут — однако смена знака между $-3$ и $-4$ указывает, что один вещественный корень лежит между ними.

2. 2

   Сделаем уравнение приведённым и понизим степень. Разделим обе части на $2$: $s^3 + \tfrac{33}{2}s^2 + 90s + 150 = 0$. Подставим $s = y - \tfrac{a}{3}$, где $a = \tfrac{33}{2}$, то есть $s = y - \tfrac{11}{2}$, чтобы избавиться от квадратичного члена. Используем формулы $p = b - \tfrac{a^2}{3}$ и $q = \tfrac{2a^3}{27} - \tfrac{ab}{3} + c$:

   $p = 90 - \frac{1089}{12} = -\frac{3}{4}, \qquad q = \frac{1331}{4} - 345 = -\frac{49}{4}$

   Таким образом, пониженное уравнение примет вид $y^3 - \tfrac{3}{4}y - \tfrac{49}{4} = 0$.

3. 3

   Вычислим дискриминант, чтобы определить число вещественных корней.

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{2401}{64} - \frac{1}{64} = \frac{2400}{64} = \frac{75}{2} = 37.5$

   Поскольку $\Delta > 0$, имеется ровно один вещественный корень и сопряжённая пара комплексных. Это тот случай, когда формула Кардано применяется напрямую с действительными кубическими корнями — тригонометрический обход не требуется.

4. 4

   Применим формулу Кардано. Имеем $-\tfrac{q}{2} = \tfrac{49}{8} = 6.125$ и $\sqrt{\Delta} = \sqrt{37.5} = 6.123724$:

   $y = \sqrt[3]{6.125 + 6.123724} + \sqrt[3]{6.125 - 6.123724} = \sqrt[3]{12.248724} + \sqrt[3]{0.001276}$

   Подкоренные выражения сильно различаются по величине — второе практически равно нулю, так как $\Delta$ лишь немного меньше $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2$. Получаем

   $y = 2.305138 + 0.108453 = 2.413591$

5. 5

   Вернёмся к переменной s и найдём комплексную пару. Подставляя $s = y - \tfrac{11}{2}$, получаем вещественный корень:

   $s_1 = 2.413591 - 5.5 = -3.086409$

   Деление $2s^3 + 33s^2 + 180s + 300$ на $(s - s_1)$ даёт $2s^2 + 26.827182s + 97.200344$, корни которого: $s = -6.706796 \pm 1.902385\,i$.

6. 6

   Проверим по теореме Виета. Сумма трёх корней должна равняться $-\tfrac{33}{2} = -16.5$: $-3.086409 + 2(-6.706796) = -16.500001$. Их произведение должно быть $-\tfrac{300}{2} = -150$: $(-3.086409)\left(6.706796^2 + 1.902385^2\right) = (-3.086409)(48.60018) = -150.00$. Оба условия выполняются. (Часто встречающаяся, но ошибочная версия даёт мнимую часть $\pm 0.484891$; такая пара не проходит проверку по произведению.)