Решить x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000. Найти все действительные корни с точностью до шести знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть уравнения. Раскрывая скобки:

   $x^{2}\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 104x^{2}+x^{2}\cdot 40x=x^{6}+104x^{4}+40x^{3},$

   получаем уравнение

   $f(x)=x^{6}+104x^{4}+40x^{3}-10000=0.$

   Обратите внимание, что отсутствуют члены $x^{5}$, $x^{2}$ и $x$ — многочлен разреженный, но не такого вида ($x^{6}+bx^{3}+c$), чтобы замена $u=x^{3}$ упростила его, поскольку есть слагаемое $104x^{4}$.

2. 2

   Исключим рациональные корни. По теореме о рациональных корнях возможны только делители $10000$: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm8,\pm10,\pm16,\pm20,\pm25,\ldots$ Проверяя малые значения,

   $f(2)=64+1664+320-10000=-7952,\qquad f(3)=729+8424+1080-10000=233,$

   $f(-3)=729+8424-1080-10000=-1927,\qquad f(-4)=4096+26624-2560-10000=18160.$

   Ни одно из них не обращает уравнение в ноль, разложить на рациональные множители также не удаётся, значит, корни нужно искать численно.

3. 3

   Ограничим интервалы смены знака — их два, а не один. Уже приведённые выше значения показывают оба перехода знака:

   $f(-4)>0>f(-3)\quad\text{и}\quad f(2)<0<f(3),$

   по теореме о промежуточном значении в интервале $(-4,-3)$ есть корень, и ещё один — в $(2,3)$. Проверка $f$ на $[-10,10]$ с шагом $0{,}001$ подтверждает, что действительных корней ровно два (остальные четыре — комплексные). Ошибка — остановиться после положительного корня и не найти второй.

4. 4

   Уточним каждый интервал методом бисекции до нужной точности. Делим отрезок пополам и оставляем ту часть, где $f$ меняет знак:

   $x_{+}\in(2,3)\to 2.982928,\qquad x_{-}\in(-4,-3)\to-3.152475.$

   Каждый корень сходится к $|f|<10^{-11}$ примерно за 40 делений. Округлённое значение $2.9833$ недостаточно точно: $f(2.9833)\approx +5.04$, а не $0$.

5. 5

   Подставим оба корня обратно. При $x=2.982928$: $x^{2}=8.897859$, а $x^{4}+104x^{2}+40x=79.172+925.377+119.317=1123.87$, произведение даёт $10000.0$ ✓. При $x=-3.152475$: $x^{2}=9.938099$, скобка равна $1006.23$, снова получаем $10000.0$ ✓. Корни не симметричны из-за нечётного слагаемого $40x^{3}$.