Упростите −x⁵ − 15x⁴ − 10x³ + 10x³ − 6x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что такое «подобные» слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых совпадает буквенная часть — то есть одна и та же переменная в одинаковой степени. Здесь $x^5$, $x^4$, $x^3$, $x$ и свободный член — это пять разных вариантов, поэтому достаточно просмотреть выражение по степеням, чтобы найти все возможные комбинации.

2. 2

   Группируем по степеням. Запишем коэффициенты при каждой степени:

   $x^5:\ -1\qquad x^4:\ -15\qquad x^3:\ -10\ \text{и}\ +10\qquad x^1:\ -6\qquad x^0:\ +1$

   Только у $x^3$ есть два слагаемых, значит, работа предстоит только с этим членом.

3. 3

   Собираем подобные слагаемые.

   $-10x^3+10x^3=(-10+10)x^3=0\cdot x^3=0$

   Коэффициент равен нулю, поэтому весь кубический член исчезает из выражения. Здесь важно не сложить модули и не получить ошибочно $x^3$ или $20x^3$ — это типичная ошибка.

4. 4

   Записываем оставшиеся члены в стандартном виде. Располагаем по убыванию степеней, коэффициенты не изменяются:

   $-x^5-15x^4-6x+1$

   Многочлен по-прежнему степени $5$ (старший член не трогался), но теперь в нём четыре слагаемых вместо шести, и нет ни $x^3$, ни $x^2$.

5. 5

   Проверим при $x=1$ и $x=2$. Подставим $x=1$: исходное выражение $-1-15-10+10-6+1=-21$; упрощённое: $-1-15-6+1=-21$. ✓ При $x=2$: $-32-240-80+80-12+1=-283$ и $-32-240-12+1=-283$. ✓