Разложите (1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Переменные и коэффициенты рассматриваются отдельно. Для поиска наибольшего общего множителя (НОД) берётся наименьшая степень каждой переменной, а для коэффициентов — наибольшая дробь, на которую делятся все три. Именно смешивание этих двух задач и вызывает путаницу при дробных коэффициентах.

2. 2

   Находим наименьшую степень каждой переменной. Для $x$ это $4,3,2$, значит, берём $x^2$; для $y$ — $2,3,4$, значит, берём $y^2$. Переменная часть НОД:

   $x^2y^2$

3. 3

   Дробный коэффициент определяем через НОК знаменателей. Коэффициенты: $\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14$. Поскольку $\operatorname{НОК}(2,3,4)=12$, общий множитель — $\tfrac{1}{12}$: деление на $\tfrac{1}{12}$ эквивалентно умножению на $12$, и $\tfrac{12}{2}=6$, $\tfrac{12}{3}=4$, $\tfrac{12}{4}=3$ — целые числа. Ни одна большая дробь не даст целых коэффициентов, поэтому общий множитель:

   $\frac{1}{12}x^2y^2$

4. 4

   Делим каждый член на найденный НОД. Деление на $\tfrac{1}{12}$ равносильно умножению на $12$, а показатели переменных вычитаются:

   $\frac{\tfrac12 x^4y^2}{\tfrac1{12}x^2y^2}=6x^2,\qquad \frac{\tfrac13 x^3y^3}{\tfrac1{12}x^2y^2}=4xy,\qquad \frac{\tfrac14 x^2y^4}{\tfrac1{12}x^2y^2}=3y^2$

5. 5

   Записываем разложение и проверяем, раскладывается ли скобка дальше:

   $\frac{1}{12}x^2y^2\left(6x^2+4xy+3y^2\right)$

   Рассматриваем скобку как квадратный трёхчлен по $x$: дискриминант $(4y)^2-4(6)(3y^2)=16y^2-72y^2=-56y^2<0$ при $y\neq 0$, значит, далее не раскладывается над вещественными числами. Разложение завершено.

6. 6

   Проверим раскрытием скобок: $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 6x^2=\tfrac12x^4y^2$, $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 4xy=\tfrac13x^3y^3$, $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 3y^2=\tfrac14x^2y^4$. Получены исходные слагаемые.