Решить для x, y, z и w: (1/3)x − (1/3)y = −1, −(1/3)x + (1/2)y = −w, (1/3)z = w, x = 30 + z.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от дробей в первом уравнении. Умножим обе части на $3$:

   $x - y = -3 \ \Longrightarrow \ y = x + 3$

   Система из четырёх уравнений и четырёх неизвестных кажется сложной, но два уравнения ($\tfrac13 z = w$ и $x = 30 + z$) уже дают явные подстановки, так что основная работа минимальна.

2. 2

   Выразим все переменные через $z$. Из $x = 30 + z$ и $y = x + 3$ получаем:

   $x = 30 + z, \qquad y = 33 + z, \qquad w = \frac{z}{3}$

   Теперь каждая переменная выражена через $z$ — осталось подставить в одно неиспользованное уравнение, чтобы найти $z$.

3. 3

   Подставим выражения в оставшееся уравнение.

   $-\frac{1}{3}(30 + z) + \frac{1}{2}(33 + z) = -\frac{z}{3}$

   $-10 - \frac{z}{3} + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = -\frac{z}{3}$

4. 4

   Упростим и найдём $z$. $-\frac{z}{3}$ встречается по обе стороны и сокращается, остаётся:

   $-10 + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{z}{2} = 10 - \frac{33}{2} = -\frac{13}{2} \ \Longrightarrow \ z = -13$

   Именно это сокращение позволяет решить систему за одну строку, а не устраивать громоздкое исключение по всем уравнениям.

5. 5

   Подставим найденное значение $z$ в остальные переменные.

   $x = 30 + (-13) = 17, \qquad y = 33 + (-13) = 20, \qquad w = \frac{-13}{3} = -\frac{13}{3}$

6. 6

   Проверим все четыре уравнения. $\tfrac13(17) - \tfrac13(20) = -1 \ \checkmark$; $-\tfrac13(17) + \tfrac12(20) = -\tfrac{17}{3} + 10 = \tfrac{13}{3} = -w \ \checkmark$; $\tfrac13(-13) = -\tfrac{13}{3} = w \ \checkmark$; $30 + (-13) = 17 = x \ \checkmark$. Все четыре уравнения выполняются.