Найдите область определения функции f(x) = 2 / (x² − 12x + 35). Ответ дайте в виде интервалов.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим единственное ограничение для рациональной функции. Числитель $2$ не создаёт проблем, а многочлен определён при всех действительных $x$, поэтому область определения — все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Здесь нет ни корня, ни логарифма, так что опасность только в делении на ноль. Подготовим разложение на множители — числа в квадратном трёхчлене удобные, формула не нужна.

2. 2

   Разложим знаменатель на множители. Требуются два числа, произведение которых $35$, а сумма $-12$; оба должны быть отрицательными. Подходят $-5$ и $-7$:

   $x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7)$

   Проверим раскрытием скобок: $x^{2}-7x-5x+35=x^{2}-12x+35$, значит, разложение верно.

3. 3

   Найдём значения, которые нужно исключить. Произведение обращается в ноль только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

   $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5,\qquad x-7=0\ \Rightarrow\ x=7$

   В этих точках знаменатель обнуляется, а числитель остаётся равным $2$, поэтому у функции вертикальные асимптоты, а не устранимые разрывы.

4. 4

   Исключим эти два значения из множества действительных чисел. Удаление двух отдельных точек из $\mathbb{R}$ разбивает её на три интервала:

   $(-\infty,5)\cup(5,7)\cup(7,\infty)$

   Во всех четырёх концах стоят круглые скобки: у $5$ и $7$ — потому что они исключены, у $\pm\infty$ — потому что это не числа.

5. 5

   Проверим значения по обе стороны от исключённых точек. При $x=6$ знаменатель равен $36-72+35=-1$, значит, $f(6)=-2$ — допустимое значение внутри среднего интервала. При $x=5$ знаменатель $25-60+35=0$, так что $f(5)$ не определено, как и должно быть по найденной области.