Разложите произведение (515 − 0,27x)(368 − 0,27x)(98 − 0,18x) и запишите как кубический многочлен по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем порядок действий для удобства вычислений. Произведение трёх множителей удобнее раскрывать поэтапно: сначала перемножаются две скобки, затем результат умножается на третью. Лучше начать с тех скобок, где совпадают коэффициенты $-0.27$, а потом раскрыть третью. Ожидается, что результат — кубический многочлен, старший коэффициент которого равен $(-0.27)(-0.27)(-0.18)$, то есть он отрицателен.

2. 2

   Перемножим первые две скобки по формуле разложения произведения бинома (FOIL).

   $515\cdot 368=189520,\qquad -(515+368)(0.27x)=-883\cdot 0.27x=-238.41x,\qquad (0.27x)^2=0.0729x^2$

   Получаем:

   $(515-0.27x)(368-0.27x)=0.0729x^2-238.41x+189520$

   Сложение констант до умножения на $0.27$ позволяет избежать лишних округлений.

3. 3

   Раскроем скобки, умножая результат на $98$ из третьей скобки.

   $98\cdot 0.0729x^2=7.1442x^2,\qquad 98\cdot(-238.41x)=-23364.18x,\qquad 98\cdot 189520=18572960$

4. 4

   Теперь раскроем скобки, умножая на $-0.18x$ из третьей скобки. При этом степень $x$ в каждом слагаемом увеличивается на единицу:

   $-0.18x\cdot 0.0729x^2=-0.013122x^3,\qquad -0.18x\cdot(-238.41x)=+42.9138x^2,\qquad -0.18x\cdot 189520=-34113.6x$

5. 5

   Соберём подобные слагаемые. Два слагаемых с $x^2$ и два с $x$ складываются:

   $x^2:\ 7.1442+42.9138=50.058,\qquad x:\ -23364.18-34113.6=-57477.78$

   В результате получаем:

   $-0.013122x^3+50.058x^2-57477.78x+18572960$

6. 6

   Проверим два самых простых коэффициента. Свободный член должен быть равен произведению всех констант: $515\cdot 368\cdot 98=18572960$ — верно. Старший коэффициент: $(-0.27)(-0.27)(-0.18)=-0.013122$ — тоже верно. Оба крайних коэффициента совпали, что является быстрой проверкой длинного разложения.