Разложить 4x²y + 12xy + 9y на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищется общий множитель. Во всех слагаемых содержится ровно один $y$ (а коэффициенты $4,12,9$ не имеют общего делителя, кроме $1$), значит, $y$ — наибольший общий множитель:

   $4x^2y+12xy+9y=y\left(4x^2+12x+9\right)$

   Если пропустить этот шаг и пытаться разложить трёхчлен с двумя переменными сразу, задача кажется намного сложнее, чем есть на самом деле.

2. 2

   Проверяется, является ли скобка полным квадратом. Трёхчлен вида $A^2+2AB+B^2$ должен иметь крайние члены-квадраты и средний член, равный удвоенному произведению их корней. Здесь $4x^2=(2x)^2$ и $9=3^2$, проверим средний член:

   $2\cdot(2x)\cdot3=12x\ \checkmark$

   Совпадает полностью.

3. 3

   Записывается полный квадрат.

   $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

   Оба знака положительные, значит, в двучлене сумма, а не разность. (Дополнительно: дискриминант $144-4(4)(9)=144-144=0$, что соответствует двойному корню.)

4. 4

   Объединяется с вынесенным множителем.

   $4x^2y+12xy+9y=y(2x+3)^2$

5. 5

   Анализируется структура выражения. Так как $(2x+3)^2\ge0$ всегда, знак выражения совпадает со знаком $y$, а обращается в ноль только при $y=0$ или $x=-\tfrac32$. Двойной корень при $x=-\tfrac32$ означает, что парабола (при фиксированном $y>0$) касается оси, но не пересекает её.

6. 6

   Проводится числовая проверка. Сравнение исходного выражения и $y(2x+3)^2$ на 50 случайных парах $(x,y)$ из $[-5,5]$ показывает совпадение до машинной точности ✓. Пример: $x=1, y=2$: $8+24+18=50$, $2(5)^2=50$ ✓.