Решить неравенство (x + 1)(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем критические точки прямо с множителей. Выражение уже разложено, поэтому оно обращается в нуль при $x=-1$ и $x=4$. Эти две точки разрезают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty,-1)$, $(-1,4)$ и $(4,\infty)$. Произведение может менять знак только там, где один из множителей равен нулю, поэтому внутри каждого промежутка знак постоянен.

2. 2

   Предскажем ответ по виду графика. Раскрытие скобок даёт $x^2-3x-4$ — параболу ветвями вверх с корнями $-1$ и $4$. Такая кривая лежит ниже оси только между своими корнями, поэтому уже сейчас ожидаем $-1<x<4$; проверка по промежуткам ниже это подтверждает.

3. 3

   Возьмём по одной удобной пробной точке в каждом промежутке.

   $x=-2:\ (-1)(-6)=6>0,\qquad x=0:\ (1)(-4)=-4<0,\qquad x=5:\ (6)(1)=6>0$

   Одной точки на промежуток достаточно именно потому, что внутри него знак измениться не может.

4. 4

   Выберем промежуток, где произведение отрицательно. Подходит только средний:

   $-1<x<4$

   По сути это тот участок, где множители имеют разные знаки: $x+1>0$, тогда как $x-4<0$.

5. 5

   Решим судьбу концов. При $x=-1$ и $x=4$ произведение равно $0$, а неравенство $0<0$ ложно, поэтому оба конца исключаются. Множество решений — открытый промежуток

   $x\in(-1,4)$

   (Если бы неравенство было $\le 0$, ответом был бы отрезок $[-1,4]$.)