Пусть W₁ и W₂ — подпространства n-мерного евклидова пространства V и dim W₁ < dim W₂. Докажите, что в W₂ найдётся ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору из W₁.

Step-by-step solution

1. 1

   Переформулируем цель как нетривиальность ядра. Фраза «ненулевой $v\in W_2$, ортогональный всему $W_1$» означает в точности

   $W_2\cap W_1^{\perp}\ne\{0\}.$

   Превращение утверждения о существовании в утверждение о размерности и делает задачу рутинной: размерности можно считать, а отдельные векторы — нет.

2. 2

   Построим линейное отображение, ядром которого будет нужное множество. Положим

   $T:W_2\to W_1^{*},\qquad T(x)(y)=\langle x,y\rangle\ \ \text{для }y\in W_1.$

   Отображение $T$ линейно по $x$, потому что таково скалярное произведение. Каждому вектору из $W_2$ оно сопоставляет линейный функционал, который тот порождает на $W_1$.

3. 3

   Найдём ядро. Функционал $T(x)$ нулевой ровно тогда, когда $\langle x,y\rangle=0$ для всех $y\in W_1$, поэтому

   $\ker T=\{x\in W_2:\;x\perp W_1\}=W_2\cap W_1^{\perp}.$

   Значит, доказать $\ker T\ne\{0\}$ — то же самое, что доказать теорему.

4. 4

   Оценим образ. Образ $T$ лежит в $W_1^{*}$, а $\dim W_1^{*}=\dim W_1$, поэтому

   $\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim W_1.$

   Это единственное место, где используется условие задачи, и именно здесь сработает строгое неравенство.

5. 5

   Применим теорему о ранге и дефекте. Так как $\dim W_2=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)$, то

   $\dim(\ker T)=\dim W_2-\dim(\operatorname{Im}T)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,$

   где на последнем шаге использовано $\dim W_2>\dim W_1$. Пространство размерности не меньше $1$ содержит ненулевой вектор, поэтому найдётся $v\ne 0$ из $W_2$ с $\langle v,y\rangle=0$ для всех $y\in W_1$. $\blacksquare$

6. 6

   Проверим, что оценка точна, а условие существенно. На самом деле рассуждение даёт целое подпространство ортогональных векторов размерности не меньше $\dim W_2-\dim W_1$. Строгое неравенство отбросить нельзя: в $\mathbb{R}^{2}$ возьмём $W_1=W_2=\operatorname{span}\{(1,0)\}$ — размерности равны, и единственный вектор из $W_2$, ортогональный $W_1$, это $0$.