Найдите произведение 4x³ + x² + 2x + 6 и x + 5 в вертикальном формате и упростите.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимание смысла «вертикального формата». Запись умножения в столбик, аналогично умножению чисел, позволяет получить два промежуточных произведения — по одному для каждого слагаемого бинома, — а затем сложить их, аккуратно выравнивая степени $x$ по столбцам. Такое выравнивание предотвращает типичную ошибку — случайное сложение членов с разными степенями.

2. 2

   Выпишем первое промежуточное произведение, распределяя $x$. При умножении каждого члена кубического многочлена на $x$ степень каждого слагаемого увеличивается на единицу:

   $x\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=4x^{4}+x^{3}+2x^{2}+6x$

3. 3

   Выпишем второе промежуточное произведение, распределяя $5$. Здесь меняются только коэффициенты:

   $5\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=20x^{3}+5x^{2}+10x+30$

4. 4

   Сложим два ряда по столбцам. Группируем по степеням $x$:

   $4x^{4}+\left(x^{3}+20x^{3}\right)+\left(2x^{2}+5x^{2}\right)+\left(6x+10x\right)+30$

   Следует отметить, что $4x^{4}$ не имеет пары (только первый ряд дал четвертую степень), а $30$ также не имеет пары (только второй ряд дал свободный член).

5. 5

   Приведём подобные члены и запишем результат.

   $4x^{4}+21x^{3}+7x^{2}+16x+30$

   Проверим степень: произведение многочлена степени $3$ на многочлен степени $1$ даёт степень $4$, а старший коэффициент равен $4\cdot 1=4$. Всё верно.

6. 6

   Проверим результат подстановкой значений. При $x=0$ обе формы дают $6\cdot 5=30$. При $x=1$ обе дают $13\cdot 6=78$, при $x=2.5$ обе дают $598.125$, а при $x=-1.3$ обе дают $-13.6826$. Совпадение в нескольких точках полностью определяет многочлен четвёртой степени.