Решите неравенство (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Оставим выражение в разложенном виде — раскрывать скобки не нужно. Уже получено произведение двух линейных множителей, а знак произведения полностью определяется знаками этих множителей. Если раскрыть скобки и получить $-6x^2+x+2$, решение только усложнится.

2. 2

   Найдём, при каких $x$ каждый множитель обращается в ноль.

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12$

   Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки: $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ и $\left(\tfrac23,\infty\right)$.

3. 3

   Проверим знак выражения на каждом промежутке. Подставим $x=-1$: $(2+3)(-2+1)=(5)(-1)=-5<0$. Подставим $x=0$: $(2)(1)=2>0$. Подставим $x=1$: $(-1)(3)=-3<0$. Получается последовательность: минус, плюс, минус.

4. 4

   Объясним закономерность через старший коэффициент. Если раскрыть скобки, получится старший член $-6x^2$, то есть парабола ветвями вниз. Такая парабола положительна между корнями и отрицательна вне их — это зеркальное отражение обычного случая (ветви вверх). Классическая ошибка — автоматически выбирать «вне корней».

5. 5

   Учитываем концы промежутка, так как неравенство нестрогое. При $x=-\tfrac12$ и $x=\tfrac23$ произведение равно $0$, что удовлетворяет $\ge0$. Значит, решением будет замкнутый промежуток:

   $-\frac12\le x\le\frac23$

6. 6

   Проверим результат перебором. Если вычислить значение выражения в 6001 точке от $-3$ до $3$ и сравнить с найденным промежутком, совпадение будет полным ✓, а на концах получаем ровно $0$ ✓.