Разложите 21x³ - 49x² - 18x + 42 на множители и найдите его корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала попробуем группировку, а не подбор корней. Для четырёхчленного кубического многочлена удобно разбить выражение на две пары:

   $\left(21x^{3}-49x^{2}\right)+\left(-18x+42\right).$

   Если подставить целые значения $x=2$ (получается $-22$) и $x=3$ (получается $114$), корней не находится. Поэтому метод поиска корней по теореме о рациональных корнях здесь неэффективен — единственный рациональный корень дробный: $\tfrac73$, который легко пропустить среди всех вариантов $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid42$, $q\mid21$.

2. 2

   Вынесем общий множитель в каждой паре. В первой паре выносим $7x^{2}$, во второй — $-6$:

   $21x^{3}-49x^{2}=7x^{2}(3x-7),\qquad -18x+42=-6(3x-7).$

   Знак важен: именно вынесение $-6$, а не $6$, приводит ко второму скобочному множителю $3x-7$, а не $7-3x$.

3. 3

   Теперь обе части содержат общий двучлен $(3x-7)$. Вынесем его за скобку:

   $7x^{2}(3x-7)-6(3x-7)=(3x-7)\left(7x^{2}-6\right).$

   Проверим раскрытием скобок: действительно, получаем исходное выражение $21x^{3}-49x^{2}-18x+42$ — всё верно.

4. 4

   Проверим, раскладывается ли квадратный множитель дальше. Над рациональными числами $7x^{2}-6$ не разлагается, так как $\tfrac67$ не является квадратом рационального числа. Над вещественными числами разложение возможно:

   $7x^{2}-6=7\left(x-\sqrt{\tfrac67}\right)\left(x+\sqrt{\tfrac67}\right).$

   Таким образом, полное разложение над рациональными: $(3x-7)(7x^{2}-6)$.

5. 5

   Выпишем корни и проверим их. Приравниваем каждый множитель к нулю:

   $x=\frac{7}{3}\approx2.3333,\qquad x=\pm\sqrt{\frac67}=\pm\frac{\sqrt{42}}{7}\approx\pm0.92582.$

   Подставляя эти значения в исходный многочлен, получаем ноль с точностью до $10^{-14}$ — проверка пройдена. По теореме Виета сумма корней равна $\tfrac73+0=\tfrac73=\tfrac{49}{21}$ — совпадает.