Решить неравенство x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Делить на общий множитель нельзя — переносим всё в одну часть. Деление на $x^3+1$ недопустимо, так как его знак неизвестен, и оно может обращаться в ноль. Переносим все слагаемые в одну часть и выносим общий множитель за скобки:

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

2. 2

   Полностью разложим обе скобки. Первая — сумма кубов, вторая — квадратный трёхчлен с отрицательным старшим коэффициентом:

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   Множитель $x+1$ встречается в обеих скобках — это ключевой момент задачи.

3. 3

   Соберём повторяющийся множитель. Объединяя, получаем квадрат:

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   Подстановка $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ возвращает исходное выражение $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$, значит разложение верно.

4. 4

   Покажем, что квадратный множитель всегда положителен. Для $x^2 - x + 1$ дискриминант равен

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   и старший коэффициент положителен, значит $x^2 - x + 1 > 0$ при любом действительном $x$ (минимум $\tfrac34$ при $x = \tfrac12$). Поэтому этот множитель не влияет на знак произведения.

5. 5

   Сведём к одному условию на знак. Так как $x^2-x+1 > 0$ всегда, а $(x+1)^2 \ge 0$ и обращается в ноль только при $x = -1$, произведение положительно тогда и только тогда, когда

   $2 - x > 0 \quad \text{и} \quad x \ne -1$

   Квадрат не меняет знак, но выколачивает точку $x = -1$, где произведение равно нулю и строгого неравенства нет.

6. 6

   Запишем ответ и проверим его.

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   Проверка на сетке из $1001$ рационального значения от $-5$ до $5$ в точности подтверждает ответ. Аналогично решается и неравенство с переставленными частями $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$ — это то же самое неравенство с противоположными сторонами.