Решить уравнение 9(x − 1)² − 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выберем извлечение корня, а не раскрытие скобок. Раскрытие даёт $9x^2-18x+5=0$, а это уже требует разложения на множители или формулы корней. Поскольку переменная и так стоит внутри одной возведённой в квадрат скобки, выделить эту скобку заведомо проще.

2. 2

   Выделим квадрат.

   $9(x-1)^2=4\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2=\frac{4}{9}$

3. 3

   Извлечём корень из обеих частей, сохранив оба знака. Так как $\sqrt{u^2}=|u|$, получаем

   $x-1=\pm\frac{2}{3}$

   Потерянный здесь знак $\pm$ — классический способ лишиться половины ответа.

4. 4

   Решим два получившихся линейных уравнения.

   $x=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3},\qquad x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

   $\boxed{x=\tfrac{5}{3}\ \text{или}\ x=\tfrac{1}{3}}$

5. 5

   Проверим оба корня в исходном уравнении. При $x=\tfrac53$: $9\left(\tfrac23\right)^2-4=9\cdot\tfrac49-4=0$. При $x=\tfrac13$: $9\left(-\tfrac23\right)^2-4=9\cdot\tfrac49-4=0$. Оба подходят.

6. 6

   Перепроверим через разность квадратов. $9(x-1)^2-4=\big(3(x-1)\big)^2-2^2=(3x-3-2)(3x-3+2)=(3x-5)(3x-1)$, и нули этого произведения — $x=\tfrac53$ и $x=\tfrac13$, та же самая пара.