График функции f(x) = |x| + 10 сдвинули на 8 единиц влево и на 2 единицы вниз. Запишите новую функцию.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим два вида сдвига. Горизонтальные и вертикальные переносы подчиняются разным правилам, и путаница между ними — типичная ошибка:

   $\text{сдвиг на } h \text{ вправо: } x\mapsto x-h\ \text{(внутри)},\qquad \text{сдвиг на } k \text{ вверх: } +k\ \text{(снаружи)}$

   Внутри функции знак противоположен направлению переноса, снаружи — совпадает с ним.

2. 2

   Выполним горизонтальный сдвиг. Перенос на $8$ единиц влево означает $h=-8$, поэтому $x$ заменяется на $x-(-8)=x+8$:

   $|x|+10\ \longrightarrow\ |x+8|+10$

   Именно то, что $+8$ внутри сдвигает график влево, и противоречит интуиции: вершина была в точке $x=0$, а теперь она в $x=-8$.

3. 3

   Выполним вертикальный сдвиг. Перенос на $2$ единицы вниз означает вычитание $2$ из всего значения функции:

   $|x+8|+10-2=|x+8|+8$

4. 4

   Проследим за вершиной для проверки. Исходная вершина находится в точке $(0,10)$. После сдвига на $8$ влево и $2$ вниз она должна оказаться в $(-8,8)$. По новой формуле $|x+8|$ минимально при $x=-8$, и значение там равно $0+8=8$ — вершина $(-8,8)$ ✓.

5. 5

   Проверим ещё одну точку. В исходной функции $f(0)=10$. Точка $(0,10)$ должна перейти в $(-8,8)$ — это уже подтверждено; а исходная точка $(8,18)$ должна перейти в $(0,16)$. Новая функция даёт $|0+8|+8=16$ ✓.