Решить квадратное уравнение 2x² − x − 15 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Готовим расщепление среднего члена. При $a=2$, $b=-1$, $c=-15$ ищем два числа, произведение которых равно $ac=2(-15)=-30$, а сумма равна $b=-1$. Так как $a\neq 1$, раскладывать один только $c$ бесполезно.

2. 2

   Подбираем пару. Среди пар множителей числа $-30$ есть $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$. Сумму $-1$ даёт пара $5$ и $-6$.

3. 3

   Расщепляем средний член и группируем.

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   Одинаковая скобка $(2x+5)$ в обеих группах подтверждает, что расщепление выбрано правильно.

4. 4

   Приравниваем множители к нулю.

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{или}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   Проверяем оба корня. При $x=3$: $2(9)-3-15=18-18=0$ ✓. При $x=-\tfrac52$: $2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓.

6. 6

   Подтверждаем теоремой Виета и дискриминантом. Сумма корней должна равняться $-b/a=\tfrac12$, а произведение — $c/a=-\tfrac{15}{2}$: действительно, $3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓ и $3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓. Дискриминант $1+120=121=11^{2}$ — полный квадрат, поэтому трёхчлен и разложился в рациональных числах.