Решить уравнение x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем повторяющийся квадратный блок. Половина от $-16$ — это $-8$, и $(x^2-8x)^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2$ уже воспроизводит первые три члена, за исключением небольшого остатка. Это наводит на мысль о подстановке

   $t = x^2 - 8x$

2. 2

   Перепишем уравнение через t. Вычитая разложение выше:

   $x^4 - 16x^3 + 66x^2 - 16x - 35 = \left(x^2-8x\right)^2 + 2x^2 - 16x - 35 = t^2 + 2t - 35$

   Ключевое совпадение — оставшееся $2x^2 - 16x$ как раз равно $2t$, поэтому лишних $x$ не остаётся. Четвёртая степень по $x$ превращается в квадратное уравнение по $t$.

3. 3

   Решим квадратное уравнение по t. Нужно найти два числа с произведением $-35$ и суммой $+2$ — это $+7$ и $-5$:

   $t^2 + 2t - 35 = (t+7)(t-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -7 \ \text{или} \ t = 5$

4. 4

   Переходим обратно к квадратным уравнениям по x.

   $x^2 - 8x = -7 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x + 7 = 0$

   $x^2 - 8x = 5 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x - 5 = 0$

   Или иначе: $x^4-16x^3+66x^2-16x-35 = \left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x-5\right)$, что при раскрытии скобок даёт исходное уравнение.

5. 5

   Решим каждое квадратное уравнение. Первое раскладывается на множители по целым числам:

   $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \ \text{или} \ x = 7$

   Во втором потребуется выделение полного квадрата, так как $\Delta = 64 + 20 = 84$ не является полным квадратом:

   $(x-4)^2 = 21 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{21}$

6. 6

   Соберём и проверим все четыре действительных корня.

   $x = 1,\quad x = 7,\quad x = 4 + \sqrt{21} \approx 8.5826,\quad x = 4 - \sqrt{21} \approx -0.5826$

   Все четыре корня действительны. Проверка по Виету: сумма корней $1 + 7 + 8 = 16 = -(-16)/1$, произведение $7 \cdot (16-21) = -35$, что совпадает со свободным членом. Подстановка $x = 4+\sqrt{21}$ даёт ноль с точностью до двенадцатого знака.