Решите неравенство x - (1 - x)/6 ≤ (2x + 1)/2 - 3/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём левую часть к знаменателю 6. Важно правильно раскрыть скобки с минусом в числителе:

   $x-\frac{1-x}{6}=\frac{6x-(1-x)}{6}=\frac{6x-1+x}{6}=\frac{7x-1}{6}$

2. 2

   Приведём правую часть к знаменателю 4.

   $\frac{2x+1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{4x+2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4x-1}{4}$

   Теперь неравенство имеет вид $\dfrac{7x-1}{6}\le\dfrac{4x-1}{4}$.

3. 3

   Умножим обе части на НОК знаменателей — 12. Так как $12>0$, знак $\le$ сохраняется. Это и есть причина выбирать положительный множитель, а не, например, $-12$:

   $2(7x-1)\le 3(4x-1)\quad\Longrightarrow\quad 14x-2\le 12x-3$

4. 4

   Выразим $x$. Вычтем $12x$, затем прибавим $2$, после чего разделим на положительное число $2$:

   $2x-2\le-3\quad\Longrightarrow\quad 2x\le-1\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac{1}{2}$

5. 5

   Проверим граничное значение и точки по обе стороны от него на точных дробях. При $x=-\tfrac12$ обе части равны $-\tfrac34$, то есть граница включается. При $x=-1$ получаем $-\tfrac43$ и $-\tfrac54$, и $-\tfrac43\le-\tfrac54$ выполняется. При $x=-0.49$ значения $-\tfrac{443}{600}$ и $-\tfrac{37}{50}=-\tfrac{444}{600}$, и $-\tfrac{443}{600}\le-\tfrac{444}{600}$ неверно — значит, граница действительно $-\tfrac12$.

6. 6

   Запишем ответ.

   $x\in\left(-\infty,\,-\tfrac{1}{2}\right]$