Решите x³ − 14x² + 23 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Обратим внимание на отсутствие члена с $x$. В полном виде кубическое уравнение записывается как $x^{3}-14x^{2}+0\cdot x+23=0$, поэтому по теореме Виета имеем: $r_{1}+r_{2}+r_{3}=14,\qquad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=0,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-23.$ То, что сумма попарных произведений равна нулю, — очень сильное ограничение и лучший способ проверить полученные корни в конце.

2. 2

   Исключим рациональные корни. Рациональный корень приведённого кубического уравнения с целыми коэффициентами должен делить свободный член $23$, который является простым числом, поэтому возможны только $\pm1$ и $\pm23$. Проверим их: $f(1)=10$, $f(-1)=8$, $f(23)=4784$, $f(-23)=-19550$. Ни один из них не обращает уравнение в ноль, значит, уравнение не раскладывается на множители с рациональными корнями, и искать корни придётся численно.

3. 3

   Оценим интервалы, где лежат корни. Пусть $f(x)=x^{3}-14x^{2}+23$: $f(-1.3)=-2.857,\quad f(-1.2)=1.112,\quad f(1.3)=1.537,\quad f(1.4)=-1.696,\quad f(13.8)=-15.088,\quad f(13.9)=3.679.$ Знак функции меняется трижды, значит, все три корня действительные и лежат в интервалах $(-1.3,-1.2)$, $(1.3,1.4)$ и $(13.8,13.9)$.

4. 4

   Уточним значения методом Ньютона. Используем производную $f'(x)=3x^{2}-28x$ и итерационную формулу $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ внутри каждого интервала. Получаем: $x_{1}=-1.228935648,\qquad x_{2}=1.348309644,\qquad x_{3}=13.880626004.$

5. 5

   Проверим по всем трём формулам Виета. Сумма корней: $14.000000000$, сумма попарных произведений: $-0.000000000$, произведение: $-23.000000000$ — всё совпадает с коэффициентами уравнения. Именно сумма попарных произведений — решающая проверка: округлённые значения вроде $-1.255$, $1.333$ и $13.922$ могут давать сумму, близкую к $14$, но не проходят эту проверку (например, $f(13.922)=7.88$, а не $0$).

6. 6

   Запишем ответ. $x\approx -1.228936,\qquad x\approx 1.348310,\qquad x\approx 13.880626.$ Два корня расположены близко к началу координат, а третий — далеко, около $14$, что и ожидается при доминировании $-14x^{2}$ над небольшим свободным членом $23$.