Решите x³ − 245,711x² + 2,764156x + 0,115212 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Анализируем структуру корней по коэффициентам. В уравнении $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212=0$ сумма корней равна $245.711$, а их произведение — $-0.115212$. Одновременное выполнение этих условий возможно только если один из корней близок к $245{,}7$, а два других — в пределах сотых от нуля. Поэтому имеет смысл рассматривать малые и большой корни отдельно, а не использовать общую формулу для кубического уравнения.

2. 2

   Находим два малых корня, отбросив $x^{3}$. Если $|x|$ порядка сотых, то $x^{3}$ будет порядка $10^{-5}$, что ничтожно мало по сравнению с $245.711x^{2}$. Отбрасывая $x^{3}$, получаем квадратное уравнение:
   $245.711x^{2}-2.764156x-0.115212=0,$
   дискриминант которого равен
   $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.115212)=120.8759813203,\qquad \sqrt{D}=10.9943613421.$ По формуле корней квадратного уравнения получаем:
   $x\approx -0.016747735\quad\text{и}\quad x\approx 0.027997357.$

3. 3

   Уточняем малые корни методом Ньютона. Отброшенный член $x^{3}$ вносит поправку в седьмом знаке после запятой, поэтому применим метод Ньютона $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ к исходному кубическому уравнению. Получаем:
   $x=-0.016747308\qquad\text{и}\qquad x=0.027999354.$ По сравнению с приближениями из квадратного уравнения поправки составляют $4.3\times 10^{-7}$ и $2.0\times 10^{-6}$, что подтверждает правильность подхода: отброшенный член действительно мал по сравнению с $245.711x^{2}$.

4. 4

   Вычисляем большой корень по сумме корней, а не по формуле. Так как сумма трёх корней должна равняться $245.711$, имеем:
   $x_{\text{large}}=245.711-\left(-0.016747308+0.027999354\right)=245.699747954.$ Подстановка этого значения в $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212$ даёт ноль с точностью до двенадцати значащих цифр.

5. 5

   Проверяем оба соотношения Виета. Три корня $-0.016747308$, $0.027999354$ и $245.699747954$ в сумме дают ровно $245.711000000$, а их произведение равно $-0.115212$, что совпадает с $-c$ как и должно быть. Именно проверка произведения здесь критична: сумма может быть выполнена и при ошибочных малых корнях, так как большой корень компенсирует разницу — только произведение выявляет ошибку.

6. 6

   Записываем окончательный ответ.
   $x=-0.016747308,\qquad x=0.027999354,\qquad x=245.699747954.$ Все три корня вещественны, что соответствует графику кубического многочлена, пересекающего ось $x$ чуть ниже нуля, чуть выше и далеко вправо около $245.7$.