Решите систему уравнений x⁴ + y⁴ = 82 и xy = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Строим мост к симметрическим величинам меньшей степени. Тождество

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

   позволяет пересчитать данные четвёртые степени, пользуясь только произведением $xy$, которое тоже задано. Это стандартный путь для симметрических систем: спуститься с четвёртой степени на вторую.

2. 2

   Вычисляем x² + y².

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=82+2(3)^{2}=82+18=100$

   Поскольку для действительных $x,y$ выполнено $x^{2}+y^{2}\ge 0$, годится только положительный корень:

   $x^{2}+y^{2}=10$

3. 3

   Находим x + y и x − y.

   $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=10+6=16\ \Longrightarrow\ x+y=\pm 4$

   $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=10-6=4\ \Longrightarrow\ x-y=\pm 2$

4. 4

   Перебираем сочетания знаков, оставляя только согласованные пары. При $x+y=4$: вместе с $x-y=2$ получаем $(3,1)$, а вместе с $x-y=-2$ — $(1,3)$. При $x+y=-4$ выходят пары $(-1,-3)$ и $(-3,-1)$.

   $\boxed{(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-1,-3),\ (-3,-1)}$

5. 5

   Проверяем каждую пару в обоих уравнениях. Для $(3,1)$: $81+1=82$ ✓ и $3\cdot 1=3$ ✓. Для $(-1,-3)$: $1+81=82$ ✓ и $(-1)(-3)=3$ ✓. Остальные две получаются по симметрии $x\leftrightarrow y$ и $(x,y)\to(-x,-y)$, а обе эти замены систему сохраняют.

6. 6

   Отмечаем требование согласованности знаков. Так как $xy=3>0$, числа $x$ и $y$ обязаны иметь одинаковый знак — именно поэтому $x+y=4$ сочетается только с $x-y=\pm 2$ и никогда не даёт решения с разными знаками. Кандидат вроде $(3,-1)$ не прошёл бы условие $xy=3$.