Функция f(x) = |x + 2| − 3 отражается относительно оси Ox и затем сдвигается вниз на 2 единицы. Запишите уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим исходную вершину. Функция $f(x)=|x+2|-3$ имеет вершину в точке $(-2,-3)$ и направлена вверх. Она пересекает ось $x$ в точках, где $|x+2|=3$, то есть при $x=-5$ и $x=1$.

2. 2

   Отразим относительно оси $x$: меняем знак. Все значения функции меняют знак, поэтому ко всему правому выражению добавляется минус:

   $-f(x)=-\left(|x+2|-3\right)=-|x+2|+3$

   Константа меняется с $-3$ на $+3$. Именно распределение минуса по обоим слагаемым — основная трудность задачи.

3. 3

   Сдвинем вниз на 2 единицы. Вычтем $2$ из отражённой функции:

   $-|x+2|+3-2=-|x+2|+1$

4. 4

   Запишем итоговое уравнение и опишем график.

   $f(x)=-|x+2|+1,\qquad \text{вершина }(-2,1),\ \text{ветви вниз}$

   Вершина переместилась из $(-2,-3)$ в $(-2,3)$ после отражения, затем вниз на $2$ — в $(-2,1)$.

5. 5

   Проверим по точкам и пересечениям. Исходная точка $(0,-1)$ отражается в $(0,1)$, затем сдвигается в $(0,-1)$; подставим: $-|0+2|+1=-2+1=-1\;\checkmark$. Новые $x$-пересечения: $|x+2|=1$, то есть $x=-3$ и $x=-1$ — корни сдвинулись внутрь по сравнению с $\{-5,1\}$, что соответствует вершине выше оси и направленным вниз ветвям.