Упростите √(48x¹²) / √(2x) по правилу частного для квадратных корней, считая x > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала объединяется оба радикала — это проще, чем упрощать $\sqrt{48x^{12}}$ и $\sqrt{2x}$ по отдельности. Согласно правилу частного для квадратных корней:

   $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}\quad (A\ge 0,\ B>0),$

   что здесь применимо, так как $x>0$ гарантирует неотрицательность подкоренных выражений и ненулевой знаменатель.

2. 2

   Выполним деление под одним корнем. Числовые коэффициенты и степени $x$ делятся отдельно:

   $\frac{48}{2}=24,\qquad \frac{x^{12}}{x^{1}}=x^{11}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{48x^{12}}{2x}}=\sqrt{24x^{11}}.$

3. 3

   Выделим наибольшие полные квадраты под корнем. В коэффициенте $24=4\cdot 6$, где $4=2^2$. Для переменной: наибольшая чётная степень, не превосходящая $11$, — это $10$, то есть $x^{11}=x^{10}\cdot x$, где $x^{10}=(x^5)^2$:

   $\sqrt{24x^{11}}=\sqrt{4\cdot 6\cdot x^{10}\cdot x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^{10}}\cdot\sqrt{6x}.$

4. 4

   Вынесем корни из полных квадратов. Так как $x>0$, модуль не требуется:

   $2\cdot x^{5}\cdot\sqrt{6x}=2x^{5}\sqrt{6x}.$

5. 5

   Проверим, что выражение полностью упрощено. Под корнем осталось $6=2\cdot 3$ — это квадрат-свободное число, а $x$ в первой степени, значит, больше ничего не выносится. Проверка при $x=2$: $\sqrt{48\cdot 4096}/\sqrt{4}=\sqrt{196608}/2=221.7025$, а $2(32)\sqrt{12}=64(3.4641)=221.7025$. Значения совпадают.