Дана система 2x + 3y = 14 и 3x + 2y = 15. Найдите x + y, не решая систему.

Step-by-step solution

1. 1

   Обратим внимание на симметрию коэффициентов. Пары коэффициентов — $(2,3)$ и $(3,2)$, то есть одни и те же числа, только местами. В таких симметричных системах удобно складывать уравнения: тогда коэффициенты при $x$ и $y$ становятся одинаковыми, а значит, сразу находится сумма $x+y$.

2. 2

   Сложим оба уравнения.

   $(2x+3y)+(3x+2y)=14+15$

   $5x+5y=29$

3. 3

   Вынесем общий множитель 5 за скобки.

   $5(x+y)=29\quad\Longrightarrow\quad x+y=\frac{29}{5}$

   $\boxed{x+y=\dfrac{29}{5}=5{,}8}$

4. 4

   Заметим сопутствующий приём. Если вычесть уравнения, получится $x-y=1$, то есть обе симметричные комбинации находятся сразу. Вместе они дают и сами значения: $x=\tfrac12\left(\tfrac{29}{5}+1\right)=\tfrac{17}{5}$, $y=\tfrac{12}{5}$.

5. 5

   Проверим результат. Подставим $x=\tfrac{17}{5}$ и $y=\tfrac{12}{5}$: $2\left(\tfrac{17}{5}\right)+3\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{34+36}{5}=\tfrac{70}{5}=14$ — верно, и $3\left(\tfrac{17}{5}\right)+2\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{51+24}{5}=\tfrac{75}{5}=15$ — верно; действительно, $x+y=\tfrac{29}{5}$.