Сократите дробь с числителем x² − 9 и знаменателем x + 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем область определения до сокращения. Знаменатель обращается в нуль при $x+3=0$, поэтому при $x=-3$ выражение не определено. Отметить это сразу важно, потому что после сокращения ограничение станет невидимым.

2. 2

   Разложим числитель по формуле разности квадратов. Записав $9=3^2$ и применив $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   Именно разложение на множители обнаруживает общий множитель; почленным сокращением его не найти.

3. 3

   Сократим общий множитель.

   $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$

   Это законно при всех $x$, при которых определено исходное выражение, то есть всюду, где $x+3\neq 0$.

4. 4

   Запишем ответ вместе с ограничением.

   $\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\qquad x\neq -3$

   Левая и правая части — это разные функции: у левой в точке $x=-3$ выколотая точка, а у прямой $x-3$ её нет. Это хрестоматийный пример устранимого разрыва, причём $\lim_{x\to-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$ — то значение, которого «просит» выколотая точка.

5. 5

   Проверим числом. При $x=1$ исходное выражение равно $\frac{1-9}{4}=-2$, и $x-3=-2$ ✓. При $x=-3$ исходное выражение даёт $\frac00$, то есть не определено, тогда как $x-3$ дало бы $-6$ — это и подтверждает, что ограничение не формальность.