Найдите точки пересечения прямой y = –4x + 2,5 и кривой y = 2,44x/(1 + 1,44x).

Step-by-step solution

1. 1

   Приравниваем выражения для $y$. В точке пересечения оба уравнения дают одинаковое значение $y$, поэтому $-4x+2.5 = \frac{2.44x}{1+1.44x}.$ Следует обратить внимание на полюс при $1+1.44x=0$, то есть $x=-\tfrac{1}{1.44}=-0.6944\ldots$, который необходимо исключить из ответа.

2. 2

   Избавляемся от знаменателя. Умножим обе части на $1+1.44x$ (это допустимо вне полюса): $(-4x+2.5)(1+1.44x) = 2.44x$. Раскрываем скобки: $-4x-5.76x^2+2.5+3.6x = -5.76x^2-0.4x+2.5$.

3. 3

   Приводим к стандартному квадратному уравнению. Переносим $2.44x$ влево: $-5.76x^2-2.84x+2.5=0$; умножим обе части на $-1$, затем на $100$ и поделим пополам — получаем целочисленный вид $288x^2+142x-125=0.$ Целые коэффициенты позволяют точно вычислить дискриминант.

4. 4

   Решаем квадратное уравнение. $\Delta = 142^2+4(288)(125) = 20164+144000 = 164164 = 4\cdot 41041$, значит $x = \frac{-142 \pm 2\sqrt{41041}}{576} = \frac{-71 \pm \sqrt{41041}}{288}.$ При $\sqrt{41041}\approx 202.58578$, $x_1 \approx 0.456895$ и $x_2 \approx -0.949951$. Ни один из них не равен $-0.6944$, оба проходят проверку на полюс.

5. 5

   Подставляем $x$ в уравнение прямой для $y$. Прямая проще для подстановки: $y_1 = -4(0.456895)+2.5 \approx 0.672420$, $y_2 = -4(-0.949951)+2.5 \approx 6.299803$.

6. 6

   Проверяем на кривой, а не только на прямой. $\dfrac{2.44(0.456895)}{1+1.44(0.456895)} \approx 0.672420$ и $\dfrac{2.44(-0.949951)}{1+1.44(-0.949951)} \approx 6.299803$ — оба значения совпадают, значит точки действительно лежат на обеих графиках. Вторая точка находится на удалённой ветви гиперболы, за вертикальной асимптотой.