Преобразовать (1/3)(x – 2)² – 3 в стандартный вид.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала возведём скобку в квадрат, прежде чем умножать на дробь. По порядку действий сначала выполняется возведение в степень:

   $(x-2)^2=(x-2)(x-2)=x^2-4x+4$

   Если бы умножили $\tfrac13$ на скобку до возведения в квадрат, получили бы $\left(\tfrac13 x-\tfrac23\right)^2$, что является другим выражением.

2. 2

   Распределим множитель $\tfrac13$ на каждое слагаемое в скобках:

   $\frac{1}{3}\left(x^2-4x+4\right)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$

3. 3

   Вычтем константу $3$, приведя к общему знаменателю. Представим $3$ как $\tfrac93$:

   $\frac{4}{3}-3=\frac{4}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{5}{3}$

4. 4

   Запишем выражение в стандартном виде:

   $\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$

   Исходная вершинная форма показывает, что вершина параболы находится в точке $(2,-3)$, ветви направлены вверх, а коэффициент $\tfrac13$ делает параболу более пологой.

5. 5

   Проверим результат на двух значениях. При $x=2$: вершинная форма даёт $0-3=-3$; стандартная форма даёт $\tfrac43-\tfrac83-\tfrac53=-3$ $\checkmark$. При $x=5$: вершинная форма даёт $\tfrac13(9)-3=0$; стандартная форма даёт $\tfrac{25}{3}-\tfrac{20}{3}-\tfrac53=0$ $\checkmark$.