Решить уравнение 4x² − x − 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Аккуратно выписываем коэффициенты. Средний член равен $-x$, поэтому $b=-1$, а не $1$:

   $a=4,\qquad b=-1,\qquad c=-2$

2. 2

   Сначала пробуем метод ac и убеждаемся, что он не проходит. Нужны целые числа с произведением $ac=-8$ и суммой $-1$: пары $(1,-8),(2,-4),(4,-2),(8,-1)$ дают суммы $-7,-2,2,7$. Ни одна не равна $-1$, значит целочисленного разложения нет и подходящий инструмент — формула корней.

3. 3

   Вычисляем дискриминант.

   $\Delta=(-1)^2-4(4)(-2)=1+32=33$

4. 4

   Применяем формулу корней квадратного уравнения. Заметим, что $-b=-(-1)=+1$:

   $x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{8}$

   Поскольку $33=3\cdot 11$ не содержит квадратного множителя, $\sqrt{33}$ уже записан в простейшем виде и ничего не сокращается с $8$.

5. 5

   Численная проверка. $\sqrt{33}\approx 5.7446$, поэтому $x\approx 0.8431$ или $x\approx-0.5931$. Тогда $4(0.8431)^2-0.8431-2\approx 2.843-2.843\approx 0$ $\checkmark$. По теореме Виета сумма корней равна $\tfrac{1}{4}$, а произведение — $-\tfrac{1}{2}$, что совпадает с $-\tfrac{b}{a}$ и $\tfrac{c}{a}$.