Множество решений неравенства x² + px + q < 0 — интервал (−1/2; 1/3). Найти множество решений неравенства qx² + px + 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Превратим данное множество решений в корни. Старший коэффициент у $x^{2}+px+q$ равен $+1>0$, значит парабола направлена ветвями вверх и отрицательна ровно между своими корнями. Поэтому концы данного интервала и есть корни:

   $x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac13$

2. 2

   Восстановим квадратный трёхчлен и считаем с него p и q.

   $x^{2}+px+q=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^{2}+\left(\frac12-\frac13\right)x-\frac16=x^{2}+\frac16x-\frac16$

   Отсюда

   $p=\frac16,\qquad q=-\frac16$

   (теорема Виета даёт то же самое: $x_1+x_2=-p$ и $x_1x_2=q$.)

3. 3

   Подставим найденные значения во второе неравенство.

   $-\frac16x^{2}+\frac16x+1>0$

4. 4

   Избавимся от дробей и разберёмся со знаком. Умножим на $6$ — число положительное, направление неравенства сохраняется:

   $-x^{2}+x+6>0$

   Теперь умножим на $-1$, а это меняет знак неравенства на противоположный:

   $x^{2}-x-6<0$

5. 5

   Разложим на множители и решим.

   $(x-3)(x+2)<0$

   Парабола ветвями вверх отрицательна между корнями, поэтому

   $-2<x<3$

   $\boxed{(-2,\,3)}$

6. 6

   Проверим концы и внутреннюю точку. При $x=0$: $q(0)+p(0)+1=1>0$ ✓ (внутри). При $x=3$: $-\tfrac16(9)+\tfrac16(3)+1=-\tfrac32+\tfrac12+1=0$, значит $x=3$ не входит — как и положено открытому концу. При $x=4$: $-\tfrac{16}{6}+\tfrac46+1=-\tfrac{6}{6}=-1<0$ ✓ (снаружи).