Решите уравнение 8x² = 16x.

Step-by-step solution

1. 1

   Не поддавайтесь искушению разделить обе части на $x$. Деление даёт $8x=16$ и, значит, $x=2$ — но при этом теряется решение $x=0$, ведь деление на $x$ молча предполагает, что $x\neq0$. Делить на величину, которая может обратиться в нуль, нельзя никогда; разлагать на множители — можно.

2. 2

   Перенесём всё в одну часть. Вычтем $16x$ из обеих частей, чтобы справа стоял нуль — именно такой вид нужен для правила «произведение равно нулю»:

   $8x^{2}-16x=0$

3. 3

   Вынесем общий множитель. У слагаемых общие $8$ и один $x$, то есть наибольший общий множитель равен $8x$:

   $8x(x-2)=0$

   Проверим раскрытием скобок: $8x\cdot x-8x\cdot2=8x^{2}-16x$ ✓.

4. 4

   Применим правило нулевого произведения. Произведение равно нулю только тогда, когда нулю равен один из множителей:

   $8x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2$

   Число $8$ нулём быть не может, поэтому корня оно не даёт — корни приходят только от $x$ и от $(x-2)$.

5. 5

   Проверим оба корня в исходном уравнении. При $x=0$: слева $8(0)=0$, справа $16(0)=0$ ✓. При $x=2$: слева $8(4)=32$, справа $16(2)=32$ ✓. Оба подходят, а значит, квадратное уравнение здесь действительно имеет полный набор из двух корней.

6. 6

   Запомним общий вывод. Любое квадратное уравнение без свободного члена, $ax^{2}+bx=0$, раскладывается как $x(ax+b)=0$ и потому всегда имеет корень $x=0$, а второй корень равен $x=-b/a$. Здесь $-(-16)/8=2$ ✓.