Упростите √27 − √2(2√6 − √8).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскрываем скобку, умножая её на √2. При умножении корней подкоренные выражения перемножаются: $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$. Можно было бы сперва упростить $\sqrt6$ и $\sqrt8$, но раскрытие скобки сразу даёт аккуратные произведения:

   $\sqrt2\cdot 2\sqrt6=2\sqrt{12},\qquad \sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}$

2. 2

   Упрощаем оба произведения.

   $2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt3=4\sqrt3,\qquad \sqrt{16}=4$

   значит скобка даёт $\sqrt2\left(2\sqrt6-\sqrt8\right)=4\sqrt3-4$.

3. 3

   Упрощаем первое слагаемое.

   $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt3$

4. 4

   Вычитаем, распространяя минус на оба слагаемых.

   $3\sqrt3-\left(4\sqrt3-4\right)=3\sqrt3-4\sqrt3+4=-\sqrt3+4$

   Именно смену знака у $-4$ упускают чаще всего.

5. 5

   Записываем ответ.

   $\boxed{4-\sqrt3}$

6. 6

   Проверяем численно. $\sqrt{27}=5.1962$, а $\sqrt2(2\sqrt6-\sqrt8)=1.4142(4.8990-2.8284)=1.4142(2.0706)=2.9282$. Тогда $5.1962-2.9282=2.2680$, и $4-\sqrt3=4-1.7321=2.2679$ ✓.