Можно ли разложить 5x² − 2x + 1 на множители над множеством действительных чисел?

Step-by-step solution

1. 1

   Сводим вопрос о разложении к вопросу о корнях. Квадратный трёхчлен раскладывается на действительные линейные множители $a(x-r_{1})(x-r_{2})$ ровно тогда, когда у него есть действительные корни $r_{1},r_{2}$. Значит, всё решает дискриминант — и никакого перебора пар множителей не потребуется.

2. 2

   Считаем дискриминант. При $a=5$, $b=-2$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(5)(1)=4-20=-16$

3. 3

   Толкуем знак. $\Delta=-16<0$, поэтому формула корней потребовала бы $\sqrt{-16}$, а это не действительное число. Значит, действительных корней нет, а стало быть, нет и разложения на действительные линейные множители:

   $5x^{2}-2x+1\ \text{неразложим над }\mathbb{R}$

4. 4

   Подтверждаем выделением полного квадрата. Вынося $5$ за скобку из слагаемых с $x$ и беря половину от $-\tfrac25$, то есть $-\tfrac15$, получаем:

   $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}-5\cdot\tfrac1{25}+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}+\tfrac45$

   Наименьшее значение равно $\tfrac45>0$, поэтому парабола до оси $x$ не дотягивается — независимое доказательство того же вывода.

5. 5

   Для полноты раскладываем над $\mathbb{C}$. Из $5\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac45$ следует $\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac4{25}$, откуда

   $x=\frac{1\pm2i}{5}$

   и $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\frac{1+2i}{5}\right)\left(x-\frac{1-2i}{5}\right)$. Формула корней даёт то же самое: $x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm4i}{10}=\frac{1\pm2i}{5}$ ✓ — сопряжённая пара, как и всегда при действительных коэффициентах.