Разложите на множители выражение 4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим полный квадрат среди членов второй степени. Старшие члены — $4x^2 + 4xy + y^2$, что соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2$ при $a = 2x$, $b = y$:

   $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$

   Если в выражении с двумя переменными старшая часть — полный квадрат, стоит проверить, не выражается ли всё через этот блок.

2. 2

   Проверим, выражается ли линейная часть через тот же блок.

   $-4x - 2y = -2(2x + y)$

   Так и есть — значит, всё выражение зависит от $x$ и $y$ только через комбинацию $2x + y$.

3. 3

   Введём замену переменной. Пусть $u = 2x + y$. Тогда исходное выражение превращается в обычный квадратный трёхчлен:

   $u^2 - 2u - 3$

4. 4

   Разложим квадратный трёхчлен. Найдём числа, произведение которых равно $-3$, а сумма — $-2$. Это $-3$ и $1$:

   $u^2 - 2u - 3 = (u - 3)(u + 1)$

5. 5

   Вернёмся к исходным переменным.

   $(2x + y - 3)(2x + y + 1)$

6. 6

   Проверим раскрытием скобок. $(2x+y-3)(2x+y+1) = (2x+y)^2 + (2x+y) - 3(2x+y) - 3 = (2x+y)^2 - 2(2x+y) - 3$, что совпадает с $4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3$. Проверка на числовом примере при $(x,y) = (1; 2)$ даёт $5$ в обоих вариантах. (Точки на прямой $2x+y=3$ не годятся: там оба выражения обращаются в нуль, и проверка ничего не даёт.)