Упростить (2x² + 7x + 3)/(x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала укажем область допустимых значений. Знаменатель обращается в ноль при $x=-3$, поэтому выражение при этом значении не определено. Какой бы ни была упрощённая форма, это ограничение обязательно сохраняется.

2. 2

   Разобьём средний коэффициент. Чтобы разложить $2x^{2}+7x+3$, подбираются два числа, произведение которых равно $a\cdot c=2\times3=6$, а сумма — $b=7$. Это $6$ и $1$:

   $2x^{2}+7x+3=2x^{2}+6x+x+3.$

   Порядок разбиения не влияет на результат — группировка возможна в любом случае.

3. 3

   Выполним группировку. Вынесем $2x$ из первой пары и $1$ из второй:

   $2x(x+3)+1(x+3)=(2x+1)(x+3).$

   Появление $(x+3)$ — именно знаменателя — и было целью разложения. Проверка раскрытием скобок даёт исходное $2x^{2}+6x+x+3$ ✓.

4. 4

   Сократим общий множитель. При условии $x\ne-3$ множитель $(x+3)$ сокращается:

   $\frac{(2x+1)(x+3)}{x+3}=2x+1.$

   Сокращение допустимо только потому, что $x+3\ne0$; это деление, а не приравнивание множителя к нулю.

5. 5

   Запишем ответ с учётом области определения. Упрощённое выражение:

   $2x+1,\qquad x\ne-3.$

   График — прямая $y=2x+1$ с пробелом при $x=-3$, где линия проходила бы через $(-3,-5)$ — устранимая особенность. Проверим при $x=1$: исходное выражение даёт $\tfrac{2+7+3}{4}=3$, упрощённое — тоже $3$ ✓.