Решить уравнение x³ − 3x² + 3x − 1 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем коэффициенты как строку биномиальных. Их модули $1,\ 3,\ 3,\ 1$ — это третья строка треугольника Паскаля, а знаки чередуются. Ровно такой вид имеет

   $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

2. 2

   Подберём a и b. При $a = x$ и $b = 1$ воспроизводится каждое слагаемое: $x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3$. Значит,

   $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

   Это наблюдение избавляет от всей процедуры с перебором рациональных корней и делением уголком.

3. 3

   Решим свёрнутое уравнение. Куб равен нулю только тогда, когда равно нулю его основание:

   $(x-1)^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

4. 4

   Опишем кратность. Корень $x = 1$ имеет кратность $3$, поэтому различное решение всего одно, хотя у кубического уравнения три корня с учётом кратности. Здесь $f(1) = 0$, $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 3 = 0$ и $f''(1) = 6 - 6 = 0$ — одновременное обращение в ноль $f$, $f'$ и $f''$ и есть алгебраический признак тройного корня.

5. 5

   Проверим и посмотрим на график. $1 - 3 + 3 - 1 = 0$. Так как кратность нечётная, в точке $x = 1$ кривая пересекает ось $x$, а не касается её, но делает это с нулевым наклоном, из-за чего там видна характерная пологая точка перегиба.