Дано x/y = 2/3, найти значение (3x² − 2xy + 5y²)/(5x² − 3xy + 3y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Замечено, что выражение однородное второй степени. Все слагаемые в числителе и знаменателе имеют общую степень $2$ по $x$ и $y$. Это значит, что значение выражения зависит только от отношения $x:y$, а не от конкретных значений переменных — именно поэтому достаточно знать лишь это отношение.

2. 2

   Параметризуем отношение. Из $\dfrac xy=\dfrac23$ можно записать:

   $x=2k,\qquad y=3k\qquad(k\neq 0)$

   Можно было бы сразу взять $x=2$, $y=3$, но параметр $k$ наглядно показывает сокращение.

3. 3

   Вычислим числитель.

   $3(2k)^{2}-2(2k)(3k)+5(3k)^{2}=12k^{2}-12k^{2}+45k^{2}=45k^{2}$

4. 4

   Вычислим знаменатель.

   $5(2k)^{2}-3(2k)(3k)+3(3k)^{2}=20k^{2}-18k^{2}+27k^{2}=29k^{2}$

5. 5

   Разделим и сократим.

   $\frac{45k^{2}}{29k^{2}}=\frac{45}{29}$

   $\boxed{\dfrac{45}{29}}$

6. 6

   Проверим на другой паре с тем же отношением. Пусть $x=4$, $y=6$ (отношение $2:3$ сохраняется): числитель $=48-48+180=180$, знаменатель $=80-72+108=116$, и $\tfrac{180}{116}=\tfrac{45}{29}$ — подтверждается, что ответ зависит только от отношения.

7. 7

   Альтернативный способ: разделим на $y^{2}$. Обозначим $r=\tfrac xy=\tfrac23$, тогда выражение равно $\dfrac{3r^{2}-2r+5}{5r^{2}-3r+3}=\dfrac{\tfrac{12}{9}-\tfrac43+5}{\tfrac{20}{9}-2+3}=\dfrac{5}{\tfrac{29}{9}}=\dfrac{45}{29}$ — тот же результат, но короче.