Для каких значений a неравенство |x - 2| + |x + 3| + |x - 1| + |x + 1| ≥ a выполняется при любом x?

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём задачу к поиску минимума. Неравенство выполняется при всех $x$ тогда и только тогда, когда $a$ не превосходит наименьшего значения левой части. Обозначим

   $f(x)=|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$

   и найдём $\min f$. Остальное — формальности.

2. 2

   Используем признак медианы для суммы модулей. Сумма абсолютных отклонений $\sum|x-c_{i}|$ минимальна при любом медианном значении из точек $c_{i}$. В нашем случае это $-3,\,-1,\,1,\,2$; при чётном количестве точек минимум достигается на всём промежутке между двумя средними, то есть на $[-1,1]$. Значит, минимум достигается именно на $[-1,1]$, а не на $[-3,1]$, как иногда ошибочно полагают.

3. 3

   Проверим разбиением на промежутки. Точки излома $-3,-1,1,2$ делят числовую прямую на пять участков, на каждом из которых каждый модуль раскрывается с постоянным знаком:

   $x\le-3:\ f=-4x-1;\qquad -3\le x\le-1:\ f=5-2x;$

   $-1\le x\le 1:\ f=7;\qquad 1\le x\le 2:\ f=2x+5;\qquad x\ge 2:\ f=4x+1.$

   На $[-3,-1]$ функция — убывающая прямая $5-2x$, которая идёт от $f(-3)=5+6=11$ до $f(-1)=5+2=7$, то есть на этом участке функция не постоянна.

4. 4

   Считываем минимум. Два крайних участка возрастают от центра, два прилегающих к центру убывают к $[-1,1]$, а на самом промежутке $[-1,1]$ функция постоянна:

   $f(x)=(2-x)+(x+3)+(1-x)+(x+1)=7.$

   Значит, $\min f=7$, и он достигается ровно на $[-1,1]$. Для проверки: $f(0)=2+3+1+1=7$ ✓, $f(-2)=4+1+3+1=9$ ✓ (строго больше минимума), $f(-3)=5+0+4+2=11$ ✓.

5. 5

   Запишем условие на $a$. Неравенство $f(x)\ge a$ выполняется при любом $x$ тогда и только тогда, когда

   $a\le 7.$

   Если $a>7$, то неравенство нарушается на всём открытом центральном промежутке, а множество решений при $7<a\le 9$ будет $\left(-\infty,\tfrac{5-a}{2}\right]\cup\left[\tfrac{a-5}{2},\infty\right)$ — это находится через обращение двух смежных линейных участков.