Решите неравенство log по основанию 5 от (x − 3·√x + 32) < 2 · log по основанию 5 от (√x + 2) и укажите наименьшее целое положительное решение. Варианты: 17, 25, 16, 20.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала находим область допустимых значений — логарифмы её ограничивают. Наличие $\sqrt{x}$ уже требует $x\geq 0$. Для левого логарифма нужно $x-3\sqrt{x}+32>0$; замена $t=\sqrt{x}\geq 0$ превращает это условие в $t^{2}-3t+32>0$, дискриминант которого равен

   $D=(-3)^{2}-4(1)(32)=9-128=-119<0$

   При отрицательном дискриминанте и положительном старшем коэффициенте выражение $t^{2}-3t+32$ положительно при любом $t$, поэтому новых ограничений не возникает. Правому логарифму нужно $\sqrt{x}+2>0$, что выполняется автоматически. Значит, область определения — ровно $x\geq 0$.

2. 2

   Вносим коэффициент $2$ под знак логарифма. Пользуемся свойством $k\log_{b}u=\log_{b}u^{k}$, применимым потому, что $\sqrt{x}+2>0$:

   $2\log_{5}\left(\sqrt{x}+2\right)=\log_{5}\left(\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}\right)$

   Теперь обе части — одиночные логарифмы по основанию $5$.

3. 3

   Убираем логарифмы в правильную сторону. Так как основание $5>1$, функция $\log_{5}$ строго возрастает, поэтому неравенство между логарифмами равносильно такому же неравенству между аргументами — без смены знака:

   $x-3\sqrt{x}+32<\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}$

   Если бы основание лежало между $0$ и $1$, на этом шаге знак пришлось бы поменять.

4. 4

   Раскрываем скобки и видим, как сокращаются члены с $x$. Поскольку $\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}=x+4\sqrt{x}+4$,

   $x-3\sqrt{x}+32<x+4\sqrt{x}+4$

   Вычитание $x$ из обеих частей полностью убирает квадратичную по $\sqrt{x}$ часть и оставляет линейное неравенство относительно $\sqrt{x}$:

   $-3\sqrt{x}+32<4\sqrt{x}+4\ \Longrightarrow\ 28<7\sqrt{x}\ \Longrightarrow\ \sqrt{x}>4$

5. 5

   Безопасно возводим в квадрат и пересекаем с областью определения. Обе части неравенства $\sqrt{x}>4$ неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет знак неравенства:

   $x>16$

   Это множество уже лежит внутри области $x\geq 0$, поэтому решением служит промежуток $(16,+\infty)$.

6. 6

   Выбираем наименьшее целое положительное и проверяем его. Наименьшее целое, строго большее $16$, — это $17$, то есть вариант 1. Прямая подстановка подтверждает строгость границы: при $x=16$ обе части равны $\log_{5}(36)$ и $\log_{5}(36)$, то есть совпадают и решением не являются, а при $x=17$ левая часть равна $\log_{5}(36.63)$, правая — $\log_{5}(37.49)$, так что неравенство выполняется. Значения $x=0,1,4,9,16$ проверку не проходят, а $16.5,17,25$ проходят, что согласуется с $x>16$.