Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (−1; 7) и имеющей угловой коэффициент m = −4.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается форма уравнения, использующая точку и наклон напрямую. Для таких задач применяется уравнение прямой в точечно-угловой форме:

   $y - y_1 = m(x - x_1)$

   где $(x_1, y_1)$ — координаты известной точки, а $m$ — угловой коэффициент. Дополнительных преобразований на этом этапе не требуется.

2. 2

   Подставим значения и аккуратно обработаем отрицательную координату x. При $(x_1, y_1) = (-1, 7)$ и $m = -4$ получаем:

   $y - 7 = -4\bigl(x - (-1)\bigr) = -4(x + 1)$

   Вычитание отрицательной координаты превращается в сложение. Ошибкой было бы записать $-4(x - 1)$ — это привело бы к неверному свободному члену.

3. 3

   Раскроем скобки, умножая на угловой коэффициент.

   $y - 7 = -4x - 4$

4. 4

   Выразим $y$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$. Прибавим $7$ к обеим частям:

   $y = -4x - 4 + 7 = -4x + 3$

   Таким образом, угловой коэффициент равен $-4$ (как требуется), а свободный член — $3$.

5. 5

   Проверим, принадлежит ли исходная точка этому уравнению. Подставим $x = -1$:

   $y = -4(-1) + 3 = 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   Точка действительно лежит на прямой, а коэффициент при $x$ совпадает с заданным. В стандартной форме это же уравнение: $4x + y = 3$.