Для f(x) = 2 − x^2 и g(x) = x^2 + 4x − 60 найдите (f + g)(x) и определите область определения.

Step-by-step solution

1. 1

   Примените поточечное определение суммы функций. Для любого аргумента $x$

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\left(2-x^{2}\right)+\left(x^{2}+4x-60\right).$

   Обе скобки складываются, поэтому при их раскрытии знаки не меняются.

2. 2

   Разложите слагаемые по степеням.

   $\underbrace{\left(-x^{2}+x^{2}\right)}_{\text{квадратичные}}+\underbrace{4x}_{\text{линейный}}+\underbrace{\left(2-60\right)}_{\text{свободный}}.$

3. 3

   Объедините группы и заметьте сокращение. Квадратичные члены строго противоположны:

   $-x^{2}+x^{2}=0,\qquad 2-60=-58,$

   поэтому

   $(f+g)(x)=4x-58.$

   Сумма двух квадратичных функций обычно квадратична; здесь старшие коэффициенты оказались равны $-1$ и $+1$ — потому степень и понизилась.

4. 4

   Область определения читайте по исходным функциям, а не по упрощённому ответу. Сумма определена всюду, где определены оба слагаемых. И $f$, и $g$ — многочлены, определённые на всём $\mathbb{R}$, поэтому

   $\text{область определения}(f+g)=(-\infty,\infty).$

5. 5

   Проверьте в одной точке. При $x=10$: $f(10)=2-100=-98$ и $g(10)=100+40-60=80$, поэтому $f(10)+g(10)=-18$; и $4(10)-58=-18$. Формулы согласуются.