Разделите j в кубе минус 64 на j минус 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем коэффициенты с пропусками для отсутствующих членов. $j^3-64$ переписывается как $1,\,0,\,0,\,-64$; отсутствующие члены $j^2$ и $j$ заменяются нулями, иначе столбцы сместятся.

2. 2

   Выбираем корень. Из $j-4=0$ получаем $j=4$, значит, в угол записывается $+4$ — это противоположный знак по сравнению с $-4$ в делителе.

3. 3

   Выполним синтетическое деление. Переписываем $1$ вниз; $1\times4=4$, $0+4=4$; $4\times4=16$, $0+16=16$; $16\times4=64$, $-64+64=0$. В нижней строке получаем $1,\ 4,\ 16,\ 0$.

4. 4

   Считаем ответ. $\frac{j^3-64}{j-4} = j^2+4j+16, \qquad \text{остаток } 0.$

5. 5

   Сравним с разложением суммы кубов. Формула $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ даёт все плюсы в квадратном множителе, а $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — чередование знаков. Частая ошибка — перепутать их; синтетическое деление однозначно определяет знаки.

6. 6

   Проверим результат. $(j-4)(j^2+4j+16) = j^3+4j^2+16j-4j^2-16j-64 = j^3-64$, что подтверждает полученное частное.